Axes de recherche

Contrôle de Systèmes à Espace d'Etat de Dimension Finie

Systèmes asservis décrits par des matrices polynomiales. Une étude théorique a été effectuée pour la conception de systèmes asservis linéaires-constants, décrits par des matrices polynomiales. On s'est plus particulièrement intéressé à la conception de systèmes en boucle fermée avec un compensateur décrit par une matrice de transfert propre. Ces résultats théoriques ont été appliqués à un problème de contrôle d'une courroie flexible avec entraînement couplé.

Contrôle de systèmes positifs. Les systèmes positifs constituent une classe importante de systèmes dynamiques commandés, qui inclut les systèmes à compartiments. Le problème de contrôle LQ optimal est étudié pour les systèmes différentiels linéaires en temps continu et en temps discret, avec contrainte de positivité sur l'état: on étudie à la fois le problème en horizons (de temps) fini et infini, ainsi que des applications à des procédés biologiques.

• projets en cours : 2
• doctorats terminés : 1

Contrôle de Systèmes à Espace d'Etat de Dimension Infinie

Factorisation spectrale : Un des domaines d'expertise de l'unité OCTA est le problème de factorisation spectrale pour les systèmes multivariables à paramètres répartis et ses connections avec l'équation opératorielle de Riccati. Des conditions d'existence de facteurs spectraux ont été établies dans ce cadre, à l'aide de concepts et d'outils de l'analyse complexe. De plus, la méthode de factorisation spectrale par extraction symétrique pour des systèmes à une entrée a été développée et sa convergence a été étudiée. Cette méthode a été appliquée à la résolution du problème de contrôle LQ et a été implémentée numériquement pour des modèles génériques tels que l'équation de diffusion et celle de la corde vibrante. L'extension de cette méthode aux systèmes multivariables est une question ouverte.

Systèmes de dimension infinie avec opérateurs d'observation et de contrôle non bornés : Une classe importante de systèmes à paramètres répartis est celle des systèmes dont l'évolution est décrite au moyen de semigroupes d'opérateurs, sur un espace d'état de dimension infinie et dont les opérateurs d'observation et de contrôle sont non bornés. Dans ce cadre, une étude approfondie a été menée pour les systèmes à contrôle frontière décrits par une équation différentielle sous forme factorisée.

Analyse, observation et contrôle de (bio)-réacteurs : Les réacteurs chimiques et biochimiques sont typiquement modélisés par des d'équations aux dérivées partielles (EDP) semi-linéaires, qui peuvent être analysées sous la forme d'équations différentielles abstraites sur des espaces d'état de dimension infinie. Les propriétés dynamiques ont été étudiées pour différents modèles non linéaires de réacteurs tubulaires, avec effet piston ou dispersion axiale. Des méthodes de régulation autour d'un profil de température de référence ont été conçues, analysées et testées numériquement pour des réacteurs « pistons », notamment à l'aide de feedback de type LQ. Ces méthodes devraient encore être étendues aux réacteurs à dispersion axiale. La conception d'estimateurs d'état est également à l'étude pour de tels systèmes, et plus particulièrement pour des EDP modélisant certains procédés industriels.

Contrôle frontière de systèmes d'équations de conservation : Ce type d'EDP intervient dans de nombreuses applications où elles permettent typiquement de modéliser la conservation de la matière et celle du moment. Certains résultats ont été obtenus dans le cadre de la problématique du contrôle-frontière robuste d'un système d'équations de conservation, concernant plus particulièrement la synthèse de lois de contrôle proportionnel en coordonnées de Riemann et leur application à la régulation de la hauteur et du débit d'eau dans un bief.

• projets en cours : 4
• doctorats en cours : 2

Problèmes d'équilibre avec contraintes d'équilibre (EPEC) et équilibres de Nash généralisés

Un problème EPEC consiste à trouver un point d'équilibre de Nash qui résout simultanément plusieurs programmes mathématiques avec contraintes d'équilibre (MPEC). Un exemple concret motivant notre étude est le problème « Forward Market, Spot Market » à deux périodes avec plusieurs producteurs. La première période correspond au niveau supérieur où tout producteur est un leader tandis que la seconde correspond au niveau inférieur où chaque producteur devient follower. Nous nous intéressons aux aspects théoriques (conditions d'optimalité) et algorithmiques (méthodes basées sur les techniques MPEC).

Problèmes d'équilibre et inéquations variationnelles

Les problèmes d'équilibre sont très importants en analyse non linéaire. Ils interviennent en physique et en chimie mais aussi en économie et en engineering. Ils permettent entre autres de traiter des situations où plusieurs agents agissent, chacun ayant son système de préférence et chacun travaillant sous des contraintes spécifiques.

Ce type de problèmes est très général dans le sens qu'il contient comme cas particuliers les problèmes d'inéquations variationnelles, les problèmes d'équilibre de Nash dans la théorie des jeux non coopératifs, les problèmes de points fixes, les problèmes de complémentarité non linéaires et les problèmes d'optimisation.

Les recherches de l'unité dans ce domaine ont principalement pour objectif de développer des algorithmes de calcul (de type proximal et de type faisceaux) pour résoudre de tels problèmes et d'en étudier la convergence.

• projets en cours : 2