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Cours 2011
SMAT B301 - Analyse fonctionnelle
Enseignant(s)
Encadrement des TP/Exercices
Objectifs
L'objectif du cours est d'étudier les grands théorèmes de l'analyse fonctionnelle dans le cadre des espaces normés de dimension infinie et de les appliquer à la résolution d'équations fonctionnelles linéaires (existence et unicité des solutions, convergence de schémas itératifs, décomposition spectrale).
Contenu
Après avoir défini les opérateurs linéaires et bornés, on passe en revue les grands résultats classiques: théorèmes de Hahn-Banach, théorèmes de séparation des convexes, théorème de Banach-Steinhaus, théorèmes de l'application ouverte et du graphe fermé, étude de la topologie faible et de la topologie faible-, théorème de Banach-Alaoglu, espaces réflexifs. La seconde partie du cours est consacrée à la théorie spectrale des opérateurs compacts et à son application aux équations intégrales. Après avoir vu le lemme de Neumann et le lemme de perturbation, on examine en détail l'Alternative de Fredholm et son interprétation en termes d'équation intégrale. Ensuite on particularise les résultats obtenus au cas des espaces de Hilbert pour obtenir le théorème de décomposition spectrale.
Donné en
Année(s) d'études |
Quadrimestre |
Théorie (h) |
Exercices (h) |
Crédits |
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2e |
30 |
22,5 |
5 |
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Méthode d'enseignement
Cours oral où est developpée la théorie. Séances d'exercices pour illustrer la théorie.
Evaluation
Une épreuve orale pour la théorie, une épreuve écrite pour tester la capacité de l'étudiant à faire des exercices et un travail personnel faisant l'objet d'un rapport écrit.
Prérequis
Analyse réelle et complexe.
Lectures recommandées
Analyse fonctionnelle. Théorie et applications Haim Brezis Masson Paris 1983
