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Cours 2011
SMAT B210 - Outils mathématiques de modélisation
Enseignant(s)
Timoteo CARLETTI
Renaud LAMBIOTTE
Timoteo CARLETTI
(suppléance)
Encadrement des TP/Exercices
Objectifs
L'objectif principal de ce cours est d'initier l'étudiant à la démarche de modélisation de systèmes dynamiques, c'est-à-dire dont l'état évolue au cours du temps. De tels systèmes jouent un rôle essentiel dans de nombreux domaines d'application des mathématiques, comme les sciences exactes (physique, chimie, biologie), l'informatique ou encore l'économie et la gestion...
Contenu
Introduction
Concepts fondamentaux
Étude de la croissance d'une population : suite et fin
Dynamique déterministe (2 variables)
Dynamique stochastique
Concepts et résultats fondamentaux de la théorie des équations
différentielles ordinaires (EDO) avec entrées
Exemples de modélisation de systèmes
Analyse dynamique de systèmes
Stabilité
Donné en
Année(s) d'études |
Quadrimestre |
Théorie (h) |
Exercices (h) |
Crédits |
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|---|---|---|---|---|---|
|
2e |
30 |
22,5 |
5 |
||
Table des matières
1. Introduction
Présentation générale du cours : contenu, objectifs, modalités.
Dynamique déterministe, exemple introductif : croissance d'une population.
Modélisation : équation logistique (modèle 1 variable).
Dessiner les orbites : diagrammes « cobweb ».
2. Concepts fondamentaux
Systèmes, modèles, description.
Propriétés des systèmes dynamiques ouverts
Point fixe : concept, théorèmes fondamentaux.
3. Étude de la croissance d'une population : suite et fin
Détermination des points fixes.
Points périodiques (et pré-périodiques).
Stabilité des points fixes et des points périodiques
4. Dynamique déterministe
Compétitions entre espèces.
Introduction.
Modélisation : prédateur-proie
Points fixes, périodiques et leur stabilité.
Réactions chimiques
Introduction
Formalisme et langage de la chimie
Modélisation (modèle multi-variables).
5. Dynamique stochastique
Encore des réactions chimiques
Modélisation stochastique : « master equation »
Limite pour un grand nombre de molécules
Limite pour le temps continu : Introduction au formalisme des EDO
6. Concepts et résultats fondamentaux de la théorie des équations différentielles ordinaires (EDO) avec entrées
Existence et unicité d'une solution
Équilibres : existence et multiplicité, linéarisation autour d'un équilibre.
7. Exemples de modélisation de systèmes
Le modèle logistique : du temps discret au temps continu
Les systèmes à compartiment
Les réseaux de réactions chimiques : cinétique « masse-action »
8. Analyse dynamique de systèmes
Propriétés d'invariance : non négativité
Réduction de modèle
Application : les réseaux de réactions chimiques
9. Stabilité
Concepts fondamentaux
Critères de stabilité (notamment basés sur la linéarisation)
Applications (notamment aux réseaux de réactions chimiques)
Description des TP/Exercices
1. Points fixes et diagrammes "Cobweb".
2. Étude de systèmes dynamiques ouverts.
3. Points périodiques et stabilité.
4. Dynamique déterministe : modèles de populations en interaction et réactions chimiques.
5. Dynamique stochastique : intégration numérique de réactions chimiques.
6. Modélisation de systèmes en temps continu : chemostat et modèles à compartiments.
7. Analyse dynamiques de systèmes et stabilité
Méthode d'enseignement
Cours magistral et travaux dirigés.
Evaluation
L'évaluation sera organisée sous la forme d'un examen écrit. Il comportera deux parties distinctes : modélisation d'un système dynamique simple (exercices) et connaissance des outils (questions théoriques).
Prérequis
Étude des fonctions, limites et dérivées
Lectures recommandées
- V. Chellaboina, S.P. Bhat, W. M. Haddad et D.S. Bernstein, Modeling and Analysis of Mass-Action Kinetics, Control System Magazine, 2009, pp. 60-78.
- J.D. Murray, Mathematical Biology, I : An introduction, Springer, 2008.
- E. D. Sontag, Lecture Notes on Mathematical Systems Biology, Rutgers University, USA, 2009.
- S. H. Strogatz, Nonlinear Dynamics and Chaos: With Applications to Physics, Biology, Chemistry and Engineering, Westview Press
- N.G. Van Kampen, Stochastic Processes in Physics and Chemistry, North-Holland, 2007.
- J. W. J. Verschuur, H. Wormeester, B. H. L. Betlem et H. J. Zwart, Modeling and Simulations of Dynamic Systems in Physics and Chemistry, Lecture Notes, Universiteit Twente, NL, 2007.
